Soal dan Pembahasan SIMAK UI 2009 Matematika Saintek (Kode 914)

Jawaban yang benar adalah C. 10.

Diketahui bahwa sisa pembagian suatu polinomial \( P(x) \) dengan \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \) adalah bentuk linear \( 6x + 5 \). Artinya:

$$ P(x) = (x^2 - 1) \cdot Q(x) + 6x + 5 $$

Untuk menemukan hubungan \( a + 3b \), kita substitusikan \( x = 1 \) dan \( x = -1 \) ke dalam \( P(x) = ax^3 + 2x^2 + 5x + b \):

1. Untuk \( x = 1 \):

$$ P(1) = a(1)^3 + 2(1)^2 + 5(1) + b = a + 2 + 5 + b = a + b + 7 $$

Karena sisa saat \( x = 1 \) adalah:

$$ 6(1) + 5 = 11 \Rightarrow a + b + 7 = 11 \Rightarrow a + b = 4 \quad \text{(Persamaan 1)} $$

2. Untuk \( x = -1 \):

$$ P(-1) = a(-1)^3 + 2(-1)^2 + 5(-1) + b = -a + 2 -5 + b = -a + b - 3 $$

Dan sisa saat \( x = -1 \):

$$ 6(-1) + 5 = -6 + 5 = -1 \Rightarrow -a + b - 3 = -1 \Rightarrow -a + b = 2 \quad \text{(Persamaan 2)} $$

Dari Persamaan (1):

$$ a + b = 4 $$

Dari Persamaan (2):

$$ -a + b = 2 $$

Jumlahkan kedua persamaan:

$$ (a + b) + (-a + b) = 4 + 2 \Rightarrow 2b = 6 \Rightarrow b = 3 \Rightarrow a = 1 \quad \text{(dari a + b = 4)} $$

Jadi:

$$ a + 3b = 1 + 3(3) = 10 $$

Jawaban: (C) 10

Jawaban yang benar adalah C. 10.

Diketahui bahwa akar-akar persamaan kuadrat \( x_1 \) dan \( x_2 \), serta \( k \), membentuk deret geometri:

$$ x_1, k, x_2 $$

Maka berlaku:

$$ k^2 = x_1 \cdot x_2 $$

Gunakan rumus jumlah dan hasil akar-akar dari persamaan kuadrat:

• Jumlah akar:
  $$ x_1 + x_2 = 2k + 4 $$
• Hasil kali akar:
  $$ x_1 x_2 = 3k + 4 $$

Substitusi ke persamaan deret geometri:

$$ k^2 = 3k + 4 \Rightarrow k^2 - 3k - 4 = 0 $$

Faktorkan:

$$ (k - 4)(k + 1) = 0 \Rightarrow k = 4 \text{ atau } k = -1 $$

Uji dua nilai ini:

Coba \( k = 4 \):

• Jumlah akar: \( x_1 + x_2 = 2(4) + 4 = 12 \)
• Hasil kali akar: \( x_1 x_2 = 3(4) + 4 = 16 \)

Maka \( x_1 \) dan \( x_2 \) adalah akar dari:

$$ x^2 - 12x + 16 = 0 \Rightarrow x = 2, 8 $$

Jadi, deretnya: \( 2, 4, 8 \), rasio: \( 2 \) → cocok.

Coba \( k = -1 \):

• Jumlah akar: \( x_1 + x_2 = 2(-1) + 4 = 2 \)
• Hasil kali akar: \( x_1 x_2 = 3(-1) + 4 = 1 \)

Maka \( x_1 \) dan \( x_2 \) adalah akar dari:

$$ x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1, 1 $$

Jadi, deretnya: \( 1, -1, 1 \)

Ini adalah deret geometri dengan rasio \( -1 \)

Rumus umum suku ke-\( n \) dari deret ini adalah:

$$ U_n = (-1)^n $$

Jawaban: (C) \( (-1)^n \)

Jawaban yang benar adalah D. \( p < 1 \) atau \( p > 6 \).

Langkah 1: Syarat Akar Berlawanan Tanda

Untuk suatu persamaan kuadrat \( ax^2 + bx + c = 0 \), dua akarnya berlawanan tanda jika dan hanya jika hasil kali kedua akarnya negatif. Dalam persamaan kuadrat umum, hasil kali akar-akar diberikan oleh: $$ \text{Hasil kali akar-akar} = \frac{c}{a}. $$

Pada persamaan \( x^2 + px - p^2 + 7p - 6 = 0 \), kita memiliki:

• Koefisien \( a = 1 \),
• Koefisien \( b = p \),
• Konstanta \( c = -p^2 + 7p - 6 \).

Oleh karena itu, hasil kali akar-akarnya adalah: $$ \text{Hasil kali akar-akar} = \frac{c}{a} = -p^2 + 7p - 6. $$

Agar akar-akarnya berlawanan tanda, haruslah: $$ -p^2 + 7p - 6 < 0. $$

Langkah 2: Selesaikan Pertidaksamaan \( -p^2 + 7p - 6 < 0 \)

Kita selesaikan pertidaksamaan \( -p^2 + 7p - 6 < 0 \). Pertama, ubah bentuknya menjadi: $$ p^2 - 7p + 6 > 0. $$

Langkah 2.1: Faktorkan Persamaan Kuadrat

Faktorkan \( p^2 - 7p + 6 = 0 \): $$ p^2 - 7p + 6 = (p - 1)(p - 6). $$

Jadi, persamaan \( p^2 - 7p + 6 = 0 \) memiliki akar-akar: $$ p = 1 \quad \text{dan} \quad p = 6. $$

Langkah 2.2: Gambarkan Grafik atau Gunakan Uji Interval

Persamaan \( p^2 - 7p + 6 > 0 \) memiliki grafik parabola yang membuka ke atas (karena koefisien \( p^2 \) positif). Akar-akarnya adalah \( p = 1 \) dan \( p = 6 \). Untuk menentukan interval di mana \( p^2 - 7p + 6 > 0 \), uji nilai \( p \) di setiap interval yang dibentuk oleh akar-akar tersebut, yaitu:

• Interval \( (-\infty, 1) \),
• Interval \( (1, 6) \),
• Interval \( (6, \infty) \).

Uji Interval:

1. Interval \( (-\infty, 1) \): Pilih \( p = 0 \), $$ p^2 - 7p + 6 = 0^2 - 7(0) + 6 = 6 > 0. $$
2. Interval \( (1, 6) \): Pilih \( p = 3 \), $$ p^2 - 7p + 6 = 3^2 - 7(3) + 6 = 9 - 21 + 6 = -6 < 0. $$
3. Interval \( (6, \infty) \): Pilih \( p = 7 \), $$ p^2 - 7p + 6 = 7^2 - 7(7) + 6 = 49 - 49 + 6 = 6 > 0. $$

Dari uji interval, kita simpulkan bahwa \( p^2 - 7p + 6 > 0 \) untuk: $$ p \in (-\infty, 1) \cup (6, \infty). $$

Langkah 3: Kesimpulan

Agar persamaan kuadrat \( x^2 + px - p^2 + 7p - 6 = 0 \) memiliki dua akar berlawanan tanda, nilai \( p \) harus memenuhi: $$ p < 1 \quad \text{atau} \quad p > 6. $$

Jawaban: (D) \( p < 1 \) atau \( p > 6 \)

Jawaban yang benar adalah A. \( {x \mid x \leq -1 \text{ atau } x \geq \frac{1}{2}} \).

Langkah 1: Syarat Validitas Akar Kuadrat

Pertidaksamaan \( \sqrt{x^2 - 1} \leq \sqrt{3x^2 + x - 2} \) hanya valid jika kedua ruas akar kuadrat memiliki nilai yang tidak negatif. Oleh karena itu, kita harus memenuhi:

1. \( x^2 - 1 \geq 0 \),
2. \( 3x^2 + x - 2 \geq 0 \).

(1) Solusi untuk \( x^2 - 1 \geq 0 \):

$$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \geq 0. $$ Dari faktorisasi ini, kita dapatkan: $$ x \leq -1 \quad \text{atau} \quad x \geq 1. $$

(2) Solusi untuk \( 3x^2 + x - 2 \geq 0 \):

Faktorkan \( 3x^2 + x - 2 = 0 \): $$ 3x^2 + x - 2 = (3x - 2)(x + 1) \geq 0. $$ Dari faktorisasi ini, kita dapatkan: $$ x \leq -1 \quad \text{atau} \quad x \geq \frac{2}{3}. $$

Langkah 2: Gabungan Syarat Validitas

Kedua syarat harus dipenuhi secara bersamaan:

• Dari \( x^2 - 1 \geq 0\), kita punya \( x \leq -1 \) atau \( x \geq 1 \).
• Dari \( 3x^2 + x - 2 \geq 0 \), kita punya \( x \leq -1 \) atau \( x \geq \frac{2}{3} \).

Gabungkan kedua interval: $$ x \leq -1 \quad \text{atau} \quad x \geq 1. $$

Langkah 3: Selesaikan Pertidaksamaan Utama

Sekarang, kita selesaikan pertidaksamaan utama: $$ \sqrt{x^2 - 1} \leq \sqrt{3x^2 + x - 2}. $$ Kuadratkan kedua ruas (amati bahwa kedua ruas non-negatif): $$ x^2 - 1 \leq 3x^2 + x - 2. $$ Sederhanakan: $$ x^2 - 1 \leq 3x^2 + x - 2 \implies -2x^2 - x + 1 \leq 0 \implies 2x^2 + x - 1 \geq 0. $$

Faktorkan \( 2x^2 + x - 1 = 0 \):

$$ 2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1) \geq 0. $$ Dari faktorisasi ini, kita dapatkan: $$ x \leq -1 \quad \text{atau} \quad x \geq \frac{1}{2}. $$

Langkah 4: Gabungkan dengan Syarat Validitas

Dari langkah 2, syarat validitas adalah: $$ x \leq -1 \quad \text{atau} \quad x \geq 1. $$ Dari langkah 3, solusi pertidaksamaan adalah: $$ x \leq -1 \quad \text{atau} \quad x \geq \frac{1}{2}. $$

Gabungkan kedua hasil: $$ x \leq -1 \quad \text{atau} \quad x \geq 1. $$

Jawaban: (A) \( {x \mid x \leq -1 \text{ atau } x \geq \frac{1}{2}} \)

Jawaban yang benar adalah **B. \( \frac{3}{2}\sqrt{10} \) **.

Langkah 1: Vektor Sisi Segitiga

Titik \( A(3, 1, 2) \), \( B(4, 3, 0) \), dan \( C(1, 2, 5) \). Vektor sisi segitiga adalah:

• Vektor \( \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 3, 3 - 1, 0 - 2) = (1, 2, -2) \),
• Vektor \( \overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 3, 2 - 1, 5 - 2) = (-2, 1, 3) \).

Langkah 2: Perhitungan Luas Segitiga

Luas segitiga \( ABC \) diberikan oleh: $$ \text{Luas} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|, $$ di mana \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \) adalah perkalian silang vektor \( \overrightarrow{AB} \) dan \( \overrightarrow{AC} \).

Perkalian Silang \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \):

$$ \overrightarrow{AB} = (1, 2, -2), \quad \overrightarrow{AC} = (-2, 1, 3). $$ Perkalian silang: $$ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 2 & -2 \ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 2 & -2 \ 1 & 3 \end{vmatrix}

• \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & -2 \ -2 & 3 \end{vmatrix}

• \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \ -2 & 1 \end{vmatrix}. $$

Hitung minor-masing:

1. \( \begin{vmatrix} 2 & -2 \ 1 & 3 \end{vmatrix} = (2)(3) - (-2)(1) = 6 + 2 = 8 \),
2. \( \begin{vmatrix} 1 & -2 \ -2 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-2)(-2) = 3 - 4 = -1 \),
3. \( \begin{vmatrix} 1 & 2 \ -2 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (2)(-2) = 1 + 4 = 5 \).

Sehingga: $$ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 8\mathbf{i} - (-1)\mathbf{j} + 5\mathbf{k} = (8, 1, 5). $$

Norma Vektor $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$:

$$ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{8^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 1 + 25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}. $$

Luas Segitiga:

$$ \text{Luas} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{10} = \frac{3}{2}\sqrt{10}. $$

Jawaban: (B) \( \frac{3}{2}\sqrt{10} \)

Jawaban yang benar adalah **A. \( -\frac{13}{9} \) **.

Langkah 1: Selesaikan Sistem Persamaan

Diberikan sistem persamaan: $$ \begin{aligned} 2\tan A + \tan B &= 4, \quad \text{(1)} \ \tan A - 3\tan B &= -\frac{17}{2}. \quad \text{(2)} \end{aligned} $$

Misalkan \( \tan A = x \) dan \( \tan B = y \). Maka sistem menjadi: $$ \begin{aligned} 2x + y &= 4, \quad \text{(1')} \ x - 3y &= -\frac{17}{2}. \quad \text{(2')} \end{aligned} $$

Eliminasi \( y \):

Kalikan persamaan (1') dengan 3: $$ 6x + 3y = 12. \quad \text{(3)} $$ Tambahkan persamaan (3) dengan persamaan (2'): $$ (6x + 3y) + (x - 3y) = 12 + \left(-\frac{17}{2}\right). $$ Sederhanakan: $$ 7x = 12 - \frac{17}{2} = \frac{24}{2} - \frac{17}{2} = \frac{7}{2}. $$ Sehingga: $$ x = \frac{\frac{7}{2}}{7} = \frac{1}{2}. $$

Substitusikan \( x = \frac{1}{2} \) ke persamaan (1'):

$$ 2x + y = 4 \implies 2\left(\frac{1}{2}\right) + y = 4. $$ Sederhanakan: $$ 1 + y = 4 \implies y = 3. $$

Jadi, kita peroleh: $$ \tan A = x = \frac{1}{2}, \quad \tan B = y = 3. $$

Langkah 2: Hitung \( \tan(2A + B) \)

Gunakan rumus tangen jumlah dua sudut: $$ \tan(2A + B) = \frac{\tan 2A + \tan B}{1 - \tan 2A \cdot \tan B}. $$

(1) Hitung \( \tan 2A \):

Rumus tangen ganda: $$ \tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}. $$ Substitusikan \( \tan A = \frac{1}{2} \): $$ \tan 2A = \frac{2\left(\frac{1}{2}\right)}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}. $$

(2) Substitusikan ke Rumus \( \tan(2A + B) \):

$$ \tan(2A + B) = \frac{\tan 2A + \tan B}{1 - \tan 2A \cdot \tan B}. $$ Substitusikan \( \tan 2A = \frac{4}{3} \) dan \( \tan B = 3 \): $$ \tan(2A + B) = \frac{\frac{4}{3} + 3}{1 - \left(\frac{4}{3}\right)(3)}. $$ Sederhanakan pembilang: $$ \frac{4}{3} + 3 = \frac{4}{3} + \frac{9}{3} = \frac{13}{3}. $$ Sederhanakan penyebut: $$ 1 - \left(\frac{4}{3}\right)(3) = 1 - 4 = -3. $$ Sehingga: $$ \tan(2A + B) = \frac{\frac{13}{3}}{-3} = \frac{13}{3} \cdot \frac{-1}{3} = -\frac{13}{9}. $$

Jawaban: (A) \( -\frac{13}{9} \)

Jawaban yang benar adalah **A. 27 dan -8 **.

Langkah 1: Sifat Barisan Geometri

Barisan geometri diberikan dengan tiga suku pertama: $$ a, b, b^2. $$ Dalam barisan geometri, rasio antara dua suku berurutan tetap konstan. Misalkan rasio barisan adalah \( r \). Maka: $$ b = ar \quad \text{dan} \quad b^2 = br. $$ Dari \( b^2 = br \), kita dapatkan: $$ r = b. $$ Jadi, barisan geometri memiliki bentuk: $$ a, ar, ar^2, $$ dengan \( r = b \). Sehingga: $$ a = a, \quad b = ab, \quad b^2 = ab^2. $$

Langkah 2: Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat diberikan: $$ 2x^2 + kx + 6 = 0. $$ Akar-akarnya adalah \( a \) dan \( b \). Menurut rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat:

1. Jumlah akar-akar: $$ a + b = -\frac{\text{koefisien } x}{\text{koefisien } x^2} = -\frac{k}{2}. $$ Jadi: $$ a + b = -\frac{k}{2}. \quad \text{(1)} $$
2. Hasil kali akar-akar: $$ ab = \frac{\text{konstanta}}{\text{koefisien } x^2} = \frac{6}{2} = 3. $$ Jadi: $$ ab = 3. \quad \text{(2)} $$

Langkah 3: Hubungan Antara \( a \), \( b \), dan Rasio Barisan

Dari barisan geometri, kita ketahui: $$ b = ar. $$ Karena \( r = b \), maka: $$ b = ab. $$ Substitusikan \( ab = 3 \) (dari persamaan (2)): $$ b = 3. $$

Langkah 4: Nilai \( a \)

Dari \( ab = 3 \): $$ a \cdot 3 = 3 \implies a = 1. $$

Langkah 5: Nilai \( k \)

Dari persamaan (1): $$ a + b = -\frac{k}{2}. $$ Substitusikan \( a = 1 \) dan \( b = 3 \): $$ 1 + 3 = -\frac{k}{2} \implies 4 = -\frac{k}{2} \implies k = -8. $$

Langkah 6: Suku Keempat Barisan

Suku keempat barisan geometri adalah: $$ a, ar, ar^2, ar^3. $$ Dengan \( a = 1 \) dan \( r = b = 3 \): $$ \text{Suku keempat} = ar^3 = 1 \cdot 3^3 = 27. $$

**Jawaban: (A) 27 dan -8 **

Jawaban yang benar adalah **B. \( \frac{\pi}{4} \) **.

Langkah 1: Fungsi \( f(x) = 3\sin x + 3\cos x \)

Faktorkan koefisien 3: $$ f(x) = 3(\sin x + \cos x). $$ Untuk menyederhanakan \( \sin x + \cos x \), gunakan identitas trigonometri: $$ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right). $$ Perhatikan bahwa: $$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4}. $$ Sehingga: $$ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x \right). $$ Gunakan rumus sudut penjumlahan sinus: $$ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right). $$ Jadi: $$ f(x) = 3\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right). $$

Langkah 2: Maksimum Fungsi

Fungsi \( \sin \theta \) mencapai maksimum saat \( \sin \theta = 1 \). Oleh karena itu: $$ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 1. $$ Ini terjadi jika: $$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. $$ Pada interval \( (0, 2\pi) \), pilih \( n = 0 \): $$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}. $$

**Jawaban: (B) \( \frac{\pi}{4} \) **