Exams
May 20, 2025 - 15 MIN READ
Soal dan Pembahasan SIMAK UI 2009 Matematika Saintek (Kode 914)

Soal dan Pembahasan SIMAK UI 2009 Matematika Saintek (Kode 914)

SIMAK UI (Seleksi Masuk Universitas Indonesia) adalah jalur seleksi mandiri yang diselenggarakan langsung oleh Universitas Indonesia (UI) untuk penerimaan mahasiswa baru.

Rezky Yayang (@rezkyyayang)

Rezky Yayang (@rezkyyayang)

🗒️ Lihat Daftar Isi

✏️ Soal 1

Jika suku banyak $$ ax^3 + 2x^2 + 5x + b $$ dibagi \( (x^2 - 1) \) menghasilkan sisa \( 6x + 5 \), maka \( a + 3b \) sama dengan ...

  • A. 15
  • B. 12
  • C. 10
  • D. 8
  • E. 5
✅ Cek Jawaban

Jawaban yang benar adalah C. 10.

🧠 Lihat Pembahasan

Diketahui bahwa sisa pembagian suatu polinomial \( P(x) \) dengan \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \) adalah bentuk linear \( 6x + 5 \). Artinya:

$$ P(x) = (x^2 - 1) \cdot Q(x) + 6x + 5 $$

Untuk menemukan hubungan \( a + 3b \), kita substitusikan \( x = 1 \) dan \( x = -1 \) ke dalam \( P(x) = ax^3 + 2x^2 + 5x + b \):

  1. Untuk \( x = 1 \):

$$ P(1) = a(1)^3 + 2(1)^2 + 5(1) + b = a + 2 + 5 + b = a + b + 7 $$

Karena sisa saat \( x = 1 \) adalah:

$$ 6(1) + 5 = 11 \Rightarrow a + b + 7 = 11 \Rightarrow a + b = 4 \quad \text{(Persamaan 1)} $$

  1. Untuk \( x = -1 \):

$$ P(-1) = a(-1)^3 + 2(-1)^2 + 5(-1) + b = -a + 2 -5 + b = -a + b - 3 $$

Dan sisa saat \( x = -1 \):

$$ 6(-1) + 5 = -6 + 5 = -1 \Rightarrow -a + b - 3 = -1 \Rightarrow -a + b = 2 \quad \text{(Persamaan 2)} $$

Dari Persamaan (1):

$$ a + b = 4 $$

Dari Persamaan (2):

$$ -a + b = 2 $$

Jumlahkan kedua persamaan:

$$ (a + b) + (-a + b) = 4 + 2 \Rightarrow 2b = 6 \Rightarrow b = 3 \Rightarrow a = 1 \quad \text{(dari a + b = 4)} $$

Jadi:

$$ a + 3b = 1 + 3(3) = 10 $$

Jawaban: (C) 10

✏️ Soal 2

Misalkan \( x_1 \) dan \( x_2 \) bilangan bulat yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat:

$$ x^2 - (2k + 4)x + (3k + 4) = 0 $$

Jika \( x_1, k, x_2 \) merupakan tiga suku pertama dari suatu deret geometri, maka rumus suku ke-\( n \) dari deret tersebut adalah ...

  • A. \( 1 - (-1)^n \)
  • B. \( 1 + (-1)^n \)
  • C. \( (-1)^n \)
  • D. \( 2(-1)^n \)
  • E. \( -1 \)
✅ Cek Jawaban

Jawaban yang benar adalah C. 10.

🧠 Lihat Pembahasan

Diketahui bahwa akar-akar persamaan kuadrat \( x_1 \) dan \( x_2 \), serta \( k \), membentuk deret geometri:

$$ x_1, k, x_2 $$

Maka berlaku:

$$ k^2 = x_1 \cdot x_2 $$

Gunakan rumus jumlah dan hasil akar-akar dari persamaan kuadrat:

  • Jumlah akar:
    $$ x_1 + x_2 = 2k + 4 $$
  • Hasil kali akar:
    $$ x_1 x_2 = 3k + 4 $$

Substitusi ke persamaan deret geometri:

$$ k^2 = 3k + 4 \Rightarrow k^2 - 3k - 4 = 0 $$

Faktorkan:

$$ (k - 4)(k + 1) = 0 \Rightarrow k = 4 \text{ atau } k = -1 $$

Uji dua nilai ini:


Coba \( k = 4 \):

  • Jumlah akar: \( x_1 + x_2 = 2(4) + 4 = 12 \)
  • Hasil kali akar: \( x_1 x_2 = 3(4) + 4 = 16 \)

Maka \( x_1 \) dan \( x_2 \) adalah akar dari:

$$ x^2 - 12x + 16 = 0 \Rightarrow x = 2, 8 $$

Jadi, deretnya: \( 2, 4, 8 \), rasio: \( 2 \) → cocok.


Coba \( k = -1 \):

  • Jumlah akar: \( x_1 + x_2 = 2(-1) + 4 = 2 \)
  • Hasil kali akar: \( x_1 x_2 = 3(-1) + 4 = 1 \)

Maka \( x_1 \) dan \( x_2 \) adalah akar dari:

$$ x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1, 1 $$

Jadi, deretnya: \( 1, -1, 1 \)

Ini adalah deret geometri dengan rasio \( -1 \)

Rumus umum suku ke-\( n \) dari deret ini adalah:

$$ U_n = (-1)^n $$

Jawaban: (C) \( (-1)^n \)

✏️ Soal 3

Diketahui persamaan kuadrat $$ x^2 + px - p^2 + 7p - 6 = 0. $$ Nilai \( p \) agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar berlawanan tanda adalah ...

  • A. \( 1 \frac{1}{2} < p < 2 \) atau \( p > 3 \) atau \( p < 1 \)
  • B. \( 1 < p < 1 \frac{1}{2} \)
  • C. \( 1 \frac{1}{2} < p < 3 \)
  • D. \( p < 1 \) atau \( p > 6 \)
  • E. \( p < 1 \frac{1}{2} \) atau \( p > 2 \)
✅ Cek Jawaban

Jawaban yang benar adalah D. \( p < 1 \) atau \( p > 6 \).

🧠 Lihat Pembahasan

Langkah 1: Syarat Akar Berlawanan Tanda

Untuk suatu persamaan kuadrat \( ax^2 + bx + c = 0 \), dua akarnya berlawanan tanda jika dan hanya jika hasil kali kedua akarnya negatif. Dalam persamaan kuadrat umum, hasil kali akar-akar diberikan oleh: $$ \text{Hasil kali akar-akar} = \frac{c}{a}. $$

Pada persamaan \( x^2 + px - p^2 + 7p - 6 = 0 \), kita memiliki:

  • Koefisien \( a = 1 \),
  • Koefisien \( b = p \),
  • Konstanta \( c = -p^2 + 7p - 6 \).

Oleh karena itu, hasil kali akar-akarnya adalah: $$ \text{Hasil kali akar-akar} = \frac{c}{a} = -p^2 + 7p - 6. $$

Agar akar-akarnya berlawanan tanda, haruslah: $$ -p^2 + 7p - 6 < 0. $$

Langkah 2: Selesaikan Pertidaksamaan \( -p^2 + 7p - 6 < 0 \)

Kita selesaikan pertidaksamaan \( -p^2 + 7p - 6 < 0 \). Pertama, ubah bentuknya menjadi: $$ p^2 - 7p + 6 > 0. $$

Langkah 2.1: Faktorkan Persamaan Kuadrat

Faktorkan \( p^2 - 7p + 6 = 0 \): $$ p^2 - 7p + 6 = (p - 1)(p - 6). $$

Jadi, persamaan \( p^2 - 7p + 6 = 0 \) memiliki akar-akar: $$ p = 1 \quad \text{dan} \quad p = 6. $$

Langkah 2.2: Gambarkan Grafik atau Gunakan Uji Interval

Persamaan \( p^2 - 7p + 6 > 0 \) memiliki grafik parabola yang membuka ke atas (karena koefisien \( p^2 \) positif). Akar-akarnya adalah \( p = 1 \) dan \( p = 6 \). Untuk menentukan interval di mana \( p^2 - 7p + 6 > 0 \), uji nilai \( p \) di setiap interval yang dibentuk oleh akar-akar tersebut, yaitu:

  • Interval \( (-\infty, 1) \),
  • Interval \( (1, 6) \),
  • Interval \( (6, \infty) \).

Uji Interval:

  1. Interval \( (-\infty, 1) \): Pilih \( p = 0 \), $$ p^2 - 7p + 6 = 0^2 - 7(0) + 6 = 6 > 0. $$
  2. Interval \( (1, 6) \): Pilih \( p = 3 \), $$ p^2 - 7p + 6 = 3^2 - 7(3) + 6 = 9 - 21 + 6 = -6 < 0. $$
  3. Interval \( (6, \infty) \): Pilih \( p = 7 \), $$ p^2 - 7p + 6 = 7^2 - 7(7) + 6 = 49 - 49 + 6 = 6 > 0. $$

Dari uji interval, kita simpulkan bahwa \( p^2 - 7p + 6 > 0 \) untuk: $$ p \in (-\infty, 1) \cup (6, \infty). $$

Langkah 3: Kesimpulan

Agar persamaan kuadrat \( x^2 + px - p^2 + 7p - 6 = 0 \) memiliki dua akar berlawanan tanda, nilai \( p \) harus memenuhi: $$ p < 1 \quad \text{atau} \quad p > 6. $$

Jawaban: (D) \( p < 1 \) atau \( p > 6 \)


✏️ Soal 4

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $$ \sqrt{x^2 - 1} \leq \sqrt{3x^2 + x - 2} $$ adalah ...

  • A. \( {x \mid x \leq -1 \text{ atau } x \geq \frac{1}{2}} \)
  • B. \( {x \mid x \geq 1 \text{ atau } x \leq -1} \)
  • C. \( {x \mid x \leq -1} \)
  • D. \( {x \mid -1 \leq x \leq 1} \)
  • E. \( {x \mid \frac{1}{2} \leq x \leq 1} \)
✅ Cek Jawaban

Jawaban yang benar adalah A. \( {x \mid x \leq -1 \text{ atau } x \geq \frac{1}{2}} \).

🧠 Lihat Pembahasan

Langkah 1: Syarat Validitas Akar Kuadrat

Pertidaksamaan \( \sqrt{x^2 - 1} \leq \sqrt{3x^2 + x - 2} \) hanya valid jika kedua ruas akar kuadrat memiliki nilai yang tidak negatif. Oleh karena itu, kita harus memenuhi:

  1. \( x^2 - 1 \geq 0 \),
  2. \( 3x^2 + x - 2 \geq 0 \).
(1) Solusi untuk \( x^2 - 1 \geq 0 \):

$$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \geq 0. $$ Dari faktorisasi ini, kita dapatkan: $$ x \leq -1 \quad \text{atau} \quad x \geq 1. $$

(2) Solusi untuk \( 3x^2 + x - 2 \geq 0 \):

Faktorkan \( 3x^2 + x - 2 = 0 \): $$ 3x^2 + x - 2 = (3x - 2)(x + 1) \geq 0. $$ Dari faktorisasi ini, kita dapatkan: $$ x \leq -1 \quad \text{atau} \quad x \geq \frac{2}{3}. $$

Langkah 2: Gabungan Syarat Validitas

Kedua syarat harus dipenuhi secara bersamaan:

  • Dari \( x^2 - 1 \geq 0\), kita punya \( x \leq -1 \) atau \( x \geq 1 \).
  • Dari \( 3x^2 + x - 2 \geq 0 \), kita punya \( x \leq -1 \) atau \( x \geq \frac{2}{3} \).

Gabungkan kedua interval: $$ x \leq -1 \quad \text{atau} \quad x \geq 1. $$

Langkah 3: Selesaikan Pertidaksamaan Utama

Sekarang, kita selesaikan pertidaksamaan utama: $$ \sqrt{x^2 - 1} \leq \sqrt{3x^2 + x - 2}. $$ Kuadratkan kedua ruas (amati bahwa kedua ruas non-negatif): $$ x^2 - 1 \leq 3x^2 + x - 2. $$ Sederhanakan: $$ x^2 - 1 \leq 3x^2 + x - 2 \implies -2x^2 - x + 1 \leq 0 \implies 2x^2 + x - 1 \geq 0. $$

Faktorkan \( 2x^2 + x - 1 = 0 \):

$$ 2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1) \geq 0. $$ Dari faktorisasi ini, kita dapatkan: $$ x \leq -1 \quad \text{atau} \quad x \geq \frac{1}{2}. $$

Langkah 4: Gabungkan dengan Syarat Validitas

Dari langkah 2, syarat validitas adalah: $$ x \leq -1 \quad \text{atau} \quad x \geq 1. $$ Dari langkah 3, solusi pertidaksamaan adalah: $$ x \leq -1 \quad \text{atau} \quad x \geq \frac{1}{2}. $$

Gabungkan kedua hasil: $$ x \leq -1 \quad \text{atau} \quad x \geq 1. $$

Jawaban: (A) \( {x \mid x \leq -1 \text{ atau } x \geq \frac{1}{2}} \)

✏️ Soal 5

Jika diketahui koordinat titik \( A(3, 1, 2) \), \( B(4, 3, 0) \), dan \( C(1, 2, 5) \), maka luas segitiga \( ABC \) sama dengan ...

  • A. \( \sqrt{14} \)
  • B. \( \frac{3}{2}\sqrt{10} \)
  • C. \( 3\sqrt{10} \)
  • D. \( 2\sqrt{26} \)
  • E. \( \frac{1}{2}\sqrt{114} \)
✅ Cek Jawaban

Jawaban yang benar adalah **B. \( \frac{3}{2}\sqrt{10} \) **.

🧠 Lihat Pembahasan

Langkah 1: Vektor Sisi Segitiga

Titik \( A(3, 1, 2) \), \( B(4, 3, 0) \), dan \( C(1, 2, 5) \). Vektor sisi segitiga adalah:

  • Vektor \( \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 3, 3 - 1, 0 - 2) = (1, 2, -2) \),
  • Vektor \( \overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 3, 2 - 1, 5 - 2) = (-2, 1, 3) \).

Langkah 2: Perhitungan Luas Segitiga

Luas segitiga \( ABC \) diberikan oleh: $$ \text{Luas} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|, $$ di mana \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \) adalah perkalian silang vektor \( \overrightarrow{AB} \) dan \( \overrightarrow{AC} \).

Perkalian Silang \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \):

$$ \overrightarrow{AB} = (1, 2, -2), \quad \overrightarrow{AC} = (-2, 1, 3). $$ Perkalian silang: $$ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 2 & -2 \ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 2 & -2 \ 1 & 3 \end{vmatrix}

  • \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & -2 \ -2 & 3 \end{vmatrix}
  • \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \ -2 & 1 \end{vmatrix}. $$

Hitung minor-masing:

  1. \( \begin{vmatrix} 2 & -2 \ 1 & 3 \end{vmatrix} = (2)(3) - (-2)(1) = 6 + 2 = 8 \),
  2. \( \begin{vmatrix} 1 & -2 \ -2 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-2)(-2) = 3 - 4 = -1 \),
  3. \( \begin{vmatrix} 1 & 2 \ -2 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (2)(-2) = 1 + 4 = 5 \).

Sehingga: $$ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 8\mathbf{i} - (-1)\mathbf{j} + 5\mathbf{k} = (8, 1, 5). $$

Norma Vektor $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$:

$$ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{8^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 1 + 25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}. $$

Luas Segitiga:

$$ \text{Luas} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{10} = \frac{3}{2}\sqrt{10}. $$

Jawaban: (B) \( \frac{3}{2}\sqrt{10} \)

✏️ Soal 6

Jika sudut \( A \) dan \( B \) memenuhi sistem persamaan $$ \begin{aligned} 2\tan A + \tan B &= 4, \ \tan A - 3\tan B &= -\frac{17}{2}, \end{aligned} $$ maka \( \tan(2A + B) \) sama dengan ...

  • A. \( -\frac{13}{9} \)
  • B. \( -\frac{11}{9} \)
  • C. \( -1 \)
  • D. \( -\frac{7}{9} \)
  • E. \( -\frac{5}{9} \)
✅ Cek Jawaban

Jawaban yang benar adalah **A. \( -\frac{13}{9} \) **.

🧠 Lihat Pembahasan

Langkah 1: Selesaikan Sistem Persamaan

Diberikan sistem persamaan: $$ \begin{aligned} 2\tan A + \tan B &= 4, \quad \text{(1)} \ \tan A - 3\tan B &= -\frac{17}{2}. \quad \text{(2)} \end{aligned} $$

Misalkan \( \tan A = x \) dan \( \tan B = y \). Maka sistem menjadi: $$ \begin{aligned} 2x + y &= 4, \quad \text{(1')} \ x - 3y &= -\frac{17}{2}. \quad \text{(2')} \end{aligned} $$

Eliminasi \( y \):

Kalikan persamaan (1') dengan 3: $$ 6x + 3y = 12. \quad \text{(3)} $$ Tambahkan persamaan (3) dengan persamaan (2'): $$ (6x + 3y) + (x - 3y) = 12 + \left(-\frac{17}{2}\right). $$ Sederhanakan: $$ 7x = 12 - \frac{17}{2} = \frac{24}{2} - \frac{17}{2} = \frac{7}{2}. $$ Sehingga: $$ x = \frac{\frac{7}{2}}{7} = \frac{1}{2}. $$

Substitusikan \( x = \frac{1}{2} \) ke persamaan (1'):

$$ 2x + y = 4 \implies 2\left(\frac{1}{2}\right) + y = 4. $$ Sederhanakan: $$ 1 + y = 4 \implies y = 3. $$

Jadi, kita peroleh: $$ \tan A = x = \frac{1}{2}, \quad \tan B = y = 3. $$

Langkah 2: Hitung \( \tan(2A + B) \)

Gunakan rumus tangen jumlah dua sudut: $$ \tan(2A + B) = \frac{\tan 2A + \tan B}{1 - \tan 2A \cdot \tan B}. $$

(1) Hitung \( \tan 2A \):

Rumus tangen ganda: $$ \tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}. $$ Substitusikan \( \tan A = \frac{1}{2} \): $$ \tan 2A = \frac{2\left(\frac{1}{2}\right)}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}. $$

(2) Substitusikan ke Rumus \( \tan(2A + B) \):

$$ \tan(2A + B) = \frac{\tan 2A + \tan B}{1 - \tan 2A \cdot \tan B}. $$ Substitusikan \( \tan 2A = \frac{4}{3} \) dan \( \tan B = 3 \): $$ \tan(2A + B) = \frac{\frac{4}{3} + 3}{1 - \left(\frac{4}{3}\right)(3)}. $$ Sederhanakan pembilang: $$ \frac{4}{3} + 3 = \frac{4}{3} + \frac{9}{3} = \frac{13}{3}. $$ Sederhanakan penyebut: $$ 1 - \left(\frac{4}{3}\right)(3) = 1 - 4 = -3. $$ Sehingga: $$ \tan(2A + B) = \frac{\frac{13}{3}}{-3} = \frac{13}{3} \cdot \frac{-1}{3} = -\frac{13}{9}. $$

Jawaban: (A) \( -\frac{13}{9} \)

✏️ Soal 7

Suatu barisan geometri mempunyai 3 suku pertama \( a, b, b^2 \). Jika \( a \) dan \( b \) adalah akar-akar dari persamaan kuadrat \( 2x^2 + kx + 6 = 0 \), maka suku keempat dari barisan dan nilai \( k \) masing-masing adalah ...

  • A. 27 dan -8
  • B. 27 dan 8
  • C. 24 dan -8
  • D. 24 dan -4
  • E. 24 dan 4
✅ Cek Jawaban

Jawaban yang benar adalah **A. 27 dan -8 **.

🧠 Lihat Pembahasan

Langkah 1: Sifat Barisan Geometri

Barisan geometri diberikan dengan tiga suku pertama: $$ a, b, b^2. $$ Dalam barisan geometri, rasio antara dua suku berurutan tetap konstan. Misalkan rasio barisan adalah \( r \). Maka: $$ b = ar \quad \text{dan} \quad b^2 = br. $$ Dari \( b^2 = br \), kita dapatkan: $$ r = b. $$ Jadi, barisan geometri memiliki bentuk: $$ a, ar, ar^2, $$ dengan \( r = b \). Sehingga: $$ a = a, \quad b = ab, \quad b^2 = ab^2. $$

Langkah 2: Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat diberikan: $$ 2x^2 + kx + 6 = 0. $$ Akar-akarnya adalah \( a \) dan \( b \). Menurut rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat:

  1. Jumlah akar-akar: $$ a + b = -\frac{\text{koefisien } x}{\text{koefisien } x^2} = -\frac{k}{2}. $$ Jadi: $$ a + b = -\frac{k}{2}. \quad \text{(1)} $$
  2. Hasil kali akar-akar: $$ ab = \frac{\text{konstanta}}{\text{koefisien } x^2} = \frac{6}{2} = 3. $$ Jadi: $$ ab = 3. \quad \text{(2)} $$

Langkah 3: Hubungan Antara \( a \), \( b \), dan Rasio Barisan

Dari barisan geometri, kita ketahui: $$ b = ar. $$ Karena \( r = b \), maka: $$ b = ab. $$ Substitusikan \( ab = 3 \) (dari persamaan (2)): $$ b = 3. $$

Langkah 4: Nilai \( a \)

Dari \( ab = 3 \): $$ a \cdot 3 = 3 \implies a = 1. $$

Langkah 5: Nilai \( k \)

Dari persamaan (1): $$ a + b = -\frac{k}{2}. $$ Substitusikan \( a = 1 \) dan \( b = 3 \): $$ 1 + 3 = -\frac{k}{2} \implies 4 = -\frac{k}{2} \implies k = -8. $$

Langkah 6: Suku Keempat Barisan

Suku keempat barisan geometri adalah: $$ a, ar, ar^2, ar^3. $$ Dengan \( a = 1 \) dan \( r = b = 3 \): $$ \text{Suku keempat} = ar^3 = 1 \cdot 3^3 = 27. $$

**Jawaban: (A) 27 dan -8 **

✏️ Soal 8

Fungsi \( f(x) = 3\sin x + 3\cos x \) yang didefinisikan pada interval \( (0, 2\pi) \) mencapai nilai maksimum untuk titik \( x = \) ...

  • A. \( \frac{\pi}{6} \)
  • B. \( \frac{\pi}{4} \)
  • C. \( \frac{\pi}{3} \)
  • D. \( \frac{\pi}{2} \)
  • E. \( \frac{3\pi}{4} \)
✅ Cek Jawaban

Jawaban yang benar adalah **B. \( \frac{\pi}{4} \) **.

🧠 Lihat Pembahasan

Langkah 1: Fungsi \( f(x) = 3\sin x + 3\cos x \)

Faktorkan koefisien 3: $$ f(x) = 3(\sin x + \cos x). $$ Untuk menyederhanakan \( \sin x + \cos x \), gunakan identitas trigonometri: $$ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right). $$ Perhatikan bahwa: $$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4}. $$ Sehingga: $$ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x \right). $$ Gunakan rumus sudut penjumlahan sinus: $$ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right). $$ Jadi: $$ f(x) = 3\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right). $$

Langkah 2: Maksimum Fungsi

Fungsi \( \sin \theta \) mencapai maksimum saat \( \sin \theta = 1 \). Oleh karena itu: $$ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 1. $$ Ini terjadi jika: $$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. $$ Pada interval \( (0, 2\pi) \), pilih \( n = 0 \): $$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}. $$

**Jawaban: (B) \( \frac{\pi}{4} \) **

Copyright © 2025